Proposisi
A. Pengertian
Proposisi
Sebuah Proposisi atau
proposisi adalah sebuah kalimat deklaratif yang mempunyai tepat satu nilai
kebenaran, yaitu: “Benar” (B) saja atau “Salah” (S) saja, tetapi tidak
sekaligus keduanya.
1. Pernyataan
(Proposisi)
Di dalam matematika,
tidak semua kalimat berhubungan dengan logika. Hanya kalimat yang bernilai
benar atau salah saja yang digunakan dalam penalaran. Kalimat tersebut
dinamakan proposisi (preposition).
Sebuah
proposisi(proposition) atau statement ialah sebuah kalimat deklaratif yang
memiliki tepat satu nilai kebenaran, yaitu:”Benar”(B) atau ”Salah”(S).
Kalimat tanya atau
kalimat perintah tidak dianggap sebagai pernyataan.
Berikut ini adalah
beberapa contoh proposisi :
Contoh 1 :
a. 1
+ 2 = 3
b. Presiden
RI tahun 2005 adalah SBY
c. 6
adalah bilangan prima
d. Warna
bendera RI adalah biru dan merah
Contoh 2. Semua
pernyataan di bawah ini bukan proposisi
a. 13
adalah bilangan ganjil
b. Soekarno
adalah alumnus UGM.
c. 1
+ 1 = 2
d. 8
³ akar kuadrat dari 8 + 8
e. Ada
monyet di bulan
f. Hari
ini adalah hari Rabu
g. Untuk
sembarang bilangan bulat n ³ 0, maka 2n adalah bilangan genap
h. h.
x + y = y + x untuk setiap x dan y bilangan riil
Kalimat-kalimat di atas
adalah kalimat proposisi karena dapat diketahui benar/salahnya. Kalimat (a) dan
(b) bernilai benar, sedangkan kalimat (c) dan (d) bernilai salah.
Kalimat-kalimat berikut
bukan pernyataan :
a. x
+ 2 = 10.
b. Minumlah
sirup ini dua kali sehari.
c. Alangkah
cantiknya gadis itu!
Jenis-jenis Kalimat
Matematika ada dua jenis kalimat matematika:
a. Kalimat
tertutup, yaitu suatu kalimat yang nilai kebenarannya sudah pasti.
Contoh: 2 x 3 = 6
(kalimat tertutup yang pasti benar)
2 + 3 = 6 (kalimat
tertutup yang pasti salah)
b. Kalimat
terbuka, yaitu suatu kalimat yang nilai kebenarannya belum pasti.
Contoh: x + 8 > 0,
jika x = 1 akan menjadi Proposisi yang benar, namun jika x = -9 akan menjadi
Proposisi yang salah
2. Mengkombinasikan
Proposisi
Kita dapat membentuk
proposisi baru dengan cara mengkombinasikan satu atau lebih proposisi. Operator
yang digunakan untuk mengkombinasikan proposisi disebut operator logika.
Operator logika dasar yang digunakan adalah dan (and),atau (or), dan tidak
(not). Dua operator pertama dinamakan operator biner karena operator
tersebut mengoperasikan dua buah proposisi, sedangkan operator ketiga dinamakan
operator unerkarena ia hanya membutuhkan satu buah proposisi.
Proposisi baru yang
diperoleh dari pengkombinasian tersebut dinamakan proposisi majemuk (compound
proposition). Proposisi yang bukan merupakan kombinasi proposisi lain disebut proposisi
atomik. Dengan kata lain, proposisi majemuk disusun dari proposisi-proposisi
atomik. Metode pengkombinasian proposisi dibahas oleh matematikawan Inggris
yang bernama George Boole pada tahun 1854 di dalam bukunya yang terkenal, The
Laws of Thought.
Proposisi majemuk ada
tiga macam, yaitu konjungsi, disjungsi, dan ingkaran.
a. Proposisi
majemuk
adalah gabungan dari
proposisi-proposisi tunggal dengan menggunakan kata hubung logika.
Misalkan p dan q adalah
proposisi.
· Negasi
Untuk sembarang
proposisi, p, yang memiliki nilai kebenaran, B/S, maka negasinya ditulis
sebagai, ~p, memiliki nilai kebenaran lawannya, S/B.
Berikut ini adalah
contoh negasi :
p : Palembang adalah
ibukota propinsi Sumatera Selatan.
~p : Tidak benar
Palembang adalah ibukota propinsi Sumatera Selatan.
Atau
Palembang bukan ibukota
propinsi Sumatera Selatan.
Di sini ~p salah karena
p benar.
Tabel Kebenaran Dari
Negasi :
|
P
|
~p
|
|
B
|
s
|
|
S
|
B
|
· Konjungsi
Konjungsi p dan q
dinyatakan dengan, pΛq, adalah sebuah proposisi yang bernilai benar jika
proposisi p dan q keduanya bernilai benar.
Berikut ini adalah
contoh konjungsi :
p : Hari ini hari
Sabtu.
q : Matahari
bersinar cerah.
pΛq : Hari ini
hari Sabtu dan matahari berinar cerah.
Tabel Kebenaran Dari
Konjungsi :
|
P
|
q
|
pΛq
|
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
s
|
s
|
|
S
|
B
|
s
|
|
S
|
s
|
s
|
· Disjungsi
Disjungsi p dan q
dinyatakan dengan, p vq, adalah proposisi yang bernilai salah jika proposisi p
dan q keduanya bernilai salah.
Berikut ini adalah
contoh disjungsi :
p : Hari ini hari
Sabtu.
q : Matahari
bersinar cerah.
p vq : Hari ini hari
Sabtu atau matahari berinar cerah.
Tabel Kebenaran Dari
Disjungsi :
|
P
|
~p
|
|
B
|
s
|
|
S
|
B
|
b. Proposisi
Majemuk 2 dan Latihan
· Biimplikasi
“pÞq”
Biimplikasi merupakan
Proposisi majemuk yang dinyatakan dengan kalimat: “p terjadi jika dan hanya
jika q terjadi” .
Proposisi biimplikasi
bernilai benar jika kedua Proposisi p dan q bernilai benar semua atau salah
semua. Untuk kasus lainya bernilai salah.
|
P
|
q
|
pÞq
|
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
s
|
s
|
|
S
|
B
|
s
|
|
S
|
s
|
B
|
Disjungsi Eksklusif
Kata “atau” (or) dalam
operasi logika digunakan dalam dua cara:
1. Inclusive
or
“atau” berarti “p atau
q atau keduanya”
Contoh: “Tenaga IT yang
dibutuhkan menguasai Bahasa C++ atau Java”.
2. Exclusive
or
“atau” berarti “p atau
q tetapi bukan keduanya”.
Contoh: “Ia lahir
di Bandung atau di Padang”.
Operator logika
disjungsi eksklusif: xor (Notasi: Å)
|
P
|
q
|
p Å q
|
|
B
|
B
|
s
|
|
B
|
s
|
B
|
|
S
|
B
|
B
|
|
S
|
s
|
s
|
Latihan: Diketahui
proposisi-proposisi berikut:
p : Pemuda itu
tinggi
q : Pemuda itu
tampan
Nyatakan dalam bentuk
simbolik:
a. Pemuda
itu tinggi dan tampan
b. Pemuda
itu tinggi tapi tidak tampan
c. Pemuda
itu tidak tinggi maupun tampan
d. Tidak
benar bahwa pemuda itu pendek atau tidak tampan
e. Pemuda
itu tinggi, atau pendek dan tampan
f. Tidak
benar bahwa pemuda itu pendek maupun tampan
Sumber :
Tidak ada komentar:
Posting Komentar